1. $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)$ when $ \displaystyle f(x)$ is continuous at $ \displaystyle x=a$.
Function αα် $ \displaystyle x=a$ αွα် continuous αြα ်αေαျှα် [$ \displaystyle f(a)$ αα်αိုးαှာαိုα်αျှα် (αို့) $ \displaystyle f(a)$ αα် indeterminate form
ααြα ်αျှα်] $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)$ αု αေးαိုα်αါαα်။
Assume that the limits of functions $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ and $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)$ exist and that $ \displaystyle c$ is any constant. Then
2. The limit of a constant times a function is the constant times the limit.
| $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {c\cdot f(x)} \right)=c\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ |
Function αို constant αြα့် αြှောα်αားαျှα် function αိုαာ limit αူαြီး constant αြα့် αြှောα်αေးααါαα်။
Example :
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,(4x)$
$ \displaystyle =4\underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,(x)$
$ \displaystyle =4(3)$
$ \displaystyle =12$
3. The limit of a constant times a function is the constant times the limit. If $ \displaystyle h(x)=c$ for all $ \displaystyle x$, then
| $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,h(x)=\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,c=c$ |
Function αα်αိα်းαေ (constant function) αြα ်αျှα် function αို limit αူαျှα် αူααα်αိုး constant αာ αြα်ααα်။
Example :
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(3)=3$
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(2018)=2018$
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(\sqrt{5})=\sqrt{5}$
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(3)=3$
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(2018)=2018$
$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(\sqrt{5})=\sqrt{5}$
4. The limit of a sum or difference is the sum or difference of the limits.
| $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,[f\left( x \right)\pm g\left( x \right)]\text{ }=~\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)\pm \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g\left( x \right)$ |
Function αျား၏ αေါα်းαα် αှုα်αα်αို Limit αူαျှα် Function αα ်αုαျα်းα ီαို Limit αူαြီးαှ αေါα်း၊ αှုα် αုα်ααα်။
Example :
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}+4x+1} \right)$
$ \displaystyle =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,3{{x}^{2}}+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,4x+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,1$
$ \displaystyle =3+4+1$
$ \displaystyle =8$
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}+4x+1} \right)$
$ \displaystyle =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,3{{x}^{2}}+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,4x+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,1$
$ \displaystyle =3+4+1$
$ \displaystyle =8$
αα်αွေ့αုα
္αာαျားαို αြေαှα်းαာαွα် αိုးαှα်းαော α‘αα်α‘αα့်αျားαို αျော်αွα်αေ့αှိαα်။
5. The limit of the product of two functions is the product of their limits (if they exist):
| $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,[f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)]\text{ }=~\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g\left( x \right)$ |
Function αျား၏αြှောα်αα်αို Limit αူαျှα် Function αα ်αုαျα်းα ီαို Limit αူαြီးαှ αြှောα် ααα်။
Example :
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {x\cdot \sqrt{x}} \right)$
$ \displaystyle =\underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,x\cdot \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{x}$
$ \displaystyle =4\sqrt{4}$
$ \displaystyle =2$
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {x\cdot \sqrt{x}} \right)$
$ \displaystyle =\underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,x\cdot \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{x}$
$ \displaystyle =4\sqrt{4}$
$ \displaystyle =2$
αα်αွေ့αုα
္αာαျားαို αြေαှα်းαာαွα် αိုးαှα်းαော α‘αα်α‘αα့်αျားαို αျော်αွα်αေ့αှိαα်။
6. The limit of quotient of two functions is the quotient of their limits, provided that
the limit in the denominator function is not zero:
the limit in the denominator function is not zero:
| $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)}}{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)}}$ if $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)\ne 0$ |
Function αျား၏ α
ားαα်αို Limit αူαျှα် Function αα
်αုαျα်းα
ီαို Limit αူαြီးαှ α
ား ααα်။
αိုα်းαြေ Function ၏ Limit αα် 0 ααြα ်ααါ။
7 .
αိုα်းαြေ Function ၏ Limit αα် 0 ααြα ်ααါ။
Example :
$ \displaystyle \ \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{2x-1}}$
$ \displaystyle =\frac{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {{{x}^{2}}+1} \right)}}{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {2x-1} \right)}}$
$ \displaystyle =\frac{{1+1}}{{2-1}}$
$ \displaystyle =2$
$ \displaystyle \ \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{2x-1}}$
$ \displaystyle =\frac{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {{{x}^{2}}+1} \right)}}{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {2x-1} \right)}}$
$ \displaystyle =\frac{{1+1}}{{2-1}}$
$ \displaystyle =2$
αα်αွေ့αုα
္αာαျားαို αြေαှα်းαာαွα် αိုα်းαြေ 0 ααြα
်αျှα် αိုးαှα်းαော α‘αα်α‘αα့်αျား αို αျော်αွα်αေ့αှိαα်။
7 .
| $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{n}}={{\left[ {\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)} \right]}^{n}},\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[n]{{f(x)}}=\sqrt[n]{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)}}$ where the powr $ \displaystyle n$ can be any real number. |
αα်αိα်း (αိα်းαα်း) Function αျားαို Limit αူαျှα် Function αို Limit αူαြီးαှ αα်αိα်း (αိα်းαα်း) αို αှာααါαα်။
Example (1):
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,{{x}^{5}}$
$ \displaystyle ={{\left( {\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,x} \right)}^{5}}$
$ \displaystyle ={{2}^{5}}$
$ \displaystyle =32$
Example (2):
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {2x-3} \right]}^{3}}$
$ \displaystyle ={{\left[ {\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,(2x-3)} \right]}^{3}}$
$ \displaystyle ={{\left[ {2\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,x-\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,3} \right]}^{3}}$
$ \displaystyle ={{\left[ {2(2)-3} \right]}^{3}}$
$ \displaystyle =1$
Example (3):
$ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[3]{{3{{x}^{2}}}}$
$ \displaystyle =\sqrt[3]{{\underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}} \right)}}$
$ \displaystyle =\sqrt[3]{{\left( {3\cdot \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,{{{\left( x \right)}}^{2}}} \right)}}$
$ \displaystyle =\sqrt[3]{{3\cdot {{{(3)}}^{2}}}}$
$ \displaystyle =3$
αα်αွေ့αုα
္αာαျားαို αြေαှα်းαာαွα် αိုးαှα်းαော α‘αα့်αျားαို αျော်αွα်αေ့αှိαα်။
α
ာαα်αူ၏ α‘αြα်αို αေးα
ားα
ွာα
ောα့်αျှော်αျα်!
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