Introduction
Contradict = αα့်αျα်αα်၊
Contradiction = αα့်αျα်αြα်း
Proof by Contradiction = αα့်αျα်αα်αေαြαြα်း
Proof by Contradiction αα် A Level Mathematics αွα် αေးαေ့αှိαော αေးαွα်းαြα ်αα်။
α‘αွα်αြောααျှα် αူαα‘αိုαြုαျα်αို αα့်αျα်αα် αူααြီး၊ αူααျα်αှားαြောα်း αα်αေαြαြα်းαြα့် αူαα‘αို αှα်αြောα်း αောα်αံαြα်းαို Proof by Contradiction αု αေါ်αါαα်။
αα ်αုαှα့်αα ်αု αα်αα်αြα်းααှိαော αြα ်αα်αျား (mutually exclusive events) αျားαွα် αှα်αော α‘αြောα်းα‘αြα်း α‘αာαျားαα် αα်αα့်α‘αါαျှ ααှားααဲ့αို့ αှားαော α‘αြောα်းα‘αြα်းα‘αာαျားαα် αα်αα့်α‘αါαျှ ααှα်αေ။ α‘αိုαါ α‘αူα‘ααိုαα်αိုα်αြု၍ Proof by Contradiction αုα ္αာαျားαို αြေαှα်းαေ့αှိαα်။
Examples
- α ုံαိα်းαျားαα် 2 ၏ ααိုးαိα်းαျား αြα ်αα်။
- ααိα်းαျားαα် 2 αြα့် α ား၍ ααြα်αါ။
- Rational αိα်းαှα်ααျှαα် α‘αိုα်းαိα်းαုံα ံαြα့် αော်αြαိုα်αα်။
- Irrational αိα်းαျားαα် α‘αိုα်းαိα်းαုံα ံαြα့် ααော်αြαိုα်αါ။
αှα်αောα‘αြောα်းα‘αာαိုαာ αှα်αြောα်းαα်αေαြαိုα်αα်။ αြိαံαα် αြိαံαြα ်αောαြောα့်αာ αြိαံαြα ်αြောα်း αα်αေαြαိုα်αြα်း αြα ်αα်။ α αုαံαြα ်αြောα်း αα်αေααြαိုα်αါ။ αြိαံαြα်αါαျှα် αြိαံαြα ်αြောα်း αα်αေαြαိုα်း αြα်းαှာ αα်αွေ့ααα်αြောα်း αေαα်αေ့αှိαα်။ αα်αွေ့αα်αှု ααα်αှုαို α α ်αေးαိုαြα်းααုα်αဲ၊ αာαာαα် αားαα်αα်αိαှု၊ α‘αူα‘ααို αားαα်αှု၊ αေါ်αာααိαှိαှု၊ αα်αြα်αုံးαα်αိုα်αှု α αα့် αα်αေαြαူ၏ α ွα်းαα်αို α α ်αေးαြα်းαြα ်αα်။
Example (1)
| Prove by contradiction that $\sqrt{2}$ is an irrational number. $\sqrt{2}$ αα် irrational αိα်းαα ်αု αြα ်αြောα်း αα်αေαြαါ။ |
|---|
Irrational number αိုαα်αှာ α‘αုံးααှိ αြα်ααα် ααααိα်း αα
်αα်း α‘αိုα်းαိα်းαြα့် αော်αြαိုα်αြα်းααှိαော ααှိαော αိα်းαျားαြα
်αα်။ ααုαုα
္αာαို αα်αေαြαα် α‘αိုα်းαိα်း၏ αα်αှα်αျα်αို αိαှိαα်αိုαါαα်။
α‘αိုα်းαိα်းαိုαα်αှာ αိα်းαြα့်αှα
်αု၏ α‘αျိုးαြα
်αα်။ αိုα်းαြေαှα့် αိုα်းαေαှα
်αုαုံးαα် αိα်းαြα့်αျားαာ αြα
်ααα်။ αိုα်းαေαှα့်αိုα်းαြေαα် α‘αα်αုံး αျα်းαိုα်းαုံα
ံ αြα
်ααα်။ αိုαိုαα်αှာ $\displaystyle\frac{p}{q}$ αုαေးαျှα် $p$ αှα့် $q$ αα် $1$ αှ αွဲ၍ αα်αα့်αိα်းαှα့်αှ α
ား၍ ααြα်αော့αော αိα်းαြα့်αျား αြα
်ααα်။ αα
်αα်းαိုαော် $p$ αှα့် $q$၏ α‘αြီးαုံး αုံααွဲαိα်းαှာ $1$ αာ αြα
်ααα်။ α‘αြီးαုံး αုံααွဲαိα်းαှာ $1$ αာαှိαော αိα်းαှα
်αုံးαို relatively prime numbers (αို့ααုα်) coprime numbers αုαေါ်αα်။ α‘αိုα်းαိα်းαα
်αု αွα် αိုα်းαေαှα့်αိုα်းαြေαα် coprime numbers αျား αြα
်ααα်။
$\sqrt{2}$ αα် irrational αိα်းαα
်αု αြα
်αြောα်း αα်αေαြαါ αုαေးαားαα် αြα
်αာ αေးαားα‘αိုαို αα့်αျα် αူααါαα်။
αα့်αျα် αူααျα်αှာ $\sqrt{2}$ αα် rational αိα်းαα
်αု αြα
်αα်။
αို့αြောα့် $\sqrt{2}$ αို $\displaystyle\frac{p}{q}$ αူ၍ αော်αြαိုα်αα်။ $p$ αှα့် $q$ αွα် $1$ αှαွဲ၍ αူαီαော αုံααွဲαိα်း ααှိαါ။
αို့αြောα့် $p^2=2q^2$ αြα
်αါαα်။
$p^2$ αှα့် $q^2$ αှα
်αα်αိα်းαျား (perfect square) αျား αွေ့ααါαα်။
αှα
်αα်αိα်းαျား ၏ αုα်αα္αိαှာ ααိα်း ၏ αှα
်αα်αိα်းαα် ααိα်း αာ αြα
်αြီး α
ုံαိα်း၏ αှα
်αα်αိα်းαα် α
ုံαိα်းαာ αြα
်αα်။
α
ုံαိα်းαα
်αုαα် 2 αြα့်α
ား၍ αြα်αောαြောα့် αα်αα့်αိα်း $k$ α‘αွα် ααို $2k$ αα်α
ုံαိα်း αြα
်αြီး α
ုံαိα်း αှ $1$ αျော့αျှα် (αို့) α
ုံαိα်းαို $1$ αိုးαျှα် ααိα်းαြα
်αα်။
αို့αြောα့် αα်αα့်αိα်း $k$ α‘αွα် ααို $2k\pm 1$ αα် ααိα်းαြα
်αα်။
$2q^2$ αα် α
ုံαိα်း αြα
်αောαြောα့် $p^2$ αα် α
ုံαိα်းαြα
်αြီး $2q^2$ αα် α
ုံαိα်းαြα
်αα် $q^2$ αα် ααိα်းαာ αြα
်ααα်။
αို့αြောα့် $q$ αα် ααိα်း αြα
်αα်။
αို့αြောα့် $p$ αα် α
ုံαိα်း αြα
်αα်။ αို့αြောα့် $p =2k$ αု αူααိုα်αα်။
αို့αြောα့် $(2k)^2=2q^2$ αြα
်αα်။
αို့αြောα့် $(q^2=2k^2$ αြα
်αα်။ ααα်α‘α $q^2$ αα် α
ုံαိα်းαြα
်αα်။
αို့αြောα့် $q$ αα် α
ုံαိα်း αြα
်αα်။
α‘αြောα်းα‘αြα်းα‘αာ αီαွα်αြα်း ααှိαောαြောα့် $\sqrt{2}$ αα် rational αိα်းαα
်αုαြα
်αα် αိုαော αူααျα်αှα်αါ။
αို့αြောα့် αူαα‘αို $\sqrt{2}$ αα် irrational αိα်းαα
်αု αြα
်αα်αိုαα့် α‘αိုαှာ αှα်αα်αု αα်αေαြαိုα်αα်။
| Solution Assume that $\sqrt{2}$ is a rational number. Then$\sqrt{2}=\displaystyle \frac{p}{q}$ where $p$ and $q$ have no common factor. $\therefore\ \ p^2=2q^2$. $\therefore\ \ p^2$ is even that implies $p$ is even and hence $q^2$ and $q$ must be odd. Since $p$ is even, assume that $p=2k$ where $k$ is an integer. $\therefore\ \ (2k)^2=2q^2$ and $q^2 = 2k^2$ that implies $q$ is an even number and this is contradiction. Hence, we can say that $\sqrt{2}$ is an irrational number. |
|---|
Example (2)
| Prove by contradiction that for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ do not have a prime factor in common. $1$ αα်αြီး αောαα့်αα့်αိα်းαြα့် $n$ α‘αွα်ααို $n$ αှα့် $n+1$ αွα် αူαီαော αုα္αααွဲαိα်း ααှိαြောα်း αα့်αျα်αα်αေαြαα်း αြα့် αα်αေαြαါ။ |
|---|
$n$ αှα့် $n+1$ αα် αှေ့αောα်αα်αျှα် αိα်းαြα့်αှα
်αု αြα
်αောαြောα့် ααွဲαိα်း ααှိαိုα်αါ။ ααှိαြောα်း αα့်αျα် αα်αေαြααα် αြα
်αα်။
αို့αြောα့် $1$ αα်αြီး αောαα့်αα့်αိα်းαြα့် $n$ α‘αွα်ααို $n$ αှα့် $n+1$ αွα် αူαီαော αုα္αααွဲαိα်း αှိαα်αု αူααα်။
α‘αိုαါ αုα္αααွဲαိα်းαα် $p$ αြα
်αါα
ေ။
αို့αြောα့် $n=pk$, $k$ αα် αိα်းαြα့်αα
်αု αြα
်αα်။
αှα့် $n+1 = pk$, $k$ αα် αိα်းαြα့်αα
်αု αြα
်αα်။
αို့αြောα့် $(n+1)-n = p(h-k)$ αြα
်αα်။
αα်αα်αြေαှα်းαော် $p (h-k) = 1$ αြα
်αα်။
α‘αα်αါαီαျှαြα်းαွα် $p$ αှα့် $h-k$ αို့αα် ααူαီαော ααွဲαိα်းαျား αြα
်αြαα်။
αို့αာαွα် $1$ ၏ ααွဲαိα်းαှာ $1$ αာ αြα
်αောαြောα့် $p$ αှα့် $h-k$ αို့αα် ααူαီαော ααွဲαိα်းαျား αြα
်αြαα် αိုαော ααα်ααှα်αော့αါ။ αို့αြောα့် αα့်αျα်αူααျα်αှားαြီး αူαα‘αို αှα်αြောα်း αα်αေαြαိုα်αα်။
| Solution Suppose that for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ have a prime factor $p$. Then we have $n=pk$ and $n+1=ph$ where $k$ and $h$ are distinct integers. Hence $(n+1)-n = p(h-k)$ that implies $p(h-k)=1$. Here $p$ and $h-k$ are distinct integers but 1 only has itself as a factor so this is a contradiction. Thus, for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ do not have a prime factor in common. |
|---|
Example (3)
| Prove by contradiction that the curves $ y=x^4+7x^2+5$ and $ y=x^2$ do not intersect each other. $ y=x^4+7x^2+5$ αှα့် $ y=x^2$ αα ်αုαှα့် αα ်αု ααြα်αြောα်း αα်αေαြαါ။ |
|---|
αိαှိαားαα့် α‘αျα်αှာ Curve αှα ်αု αα ်αုαှα့်αα ်αု αြα်αျှα် αီαျှαြα်းαှα ်αုαို ααြိုα်αα် αြေαα်α ေαိုα်αော $x$ αα်αိုး αှိαα်။ αα့်αျα် α‘αိုαြုαျα် $ y=x^4+7x^2+5$ αှα့် $ y=x^2$ αα ်αုαှα့်αα ်αု αြα်αα်αုαူα၍ αြα်αှα်αှာαα်။ αြα်αှα်ααှိαောα‘αါ αူααျα်αှားαွα်းαြောα်း αူαα‘αို αှα်αြောα်း αα်αေαြαိုα်αါαα်။
| Solution $ C_1 :\quad y=x^4+7x^2+5$ $ C_2 :\quad y=x^4+7x^2+5$ Assume that $ C_1$ and $ C_2$ intersect each other. At the point of intersection, $ x^4+7x^2+5 = x^2$ $ x^4+6x^2+5 = 0$ $ \therefore \quad (x^2+5)(x^2+1)=0$ $ \therefore \quad x^2= -5 \ \text{or}\ x^2=-1$ There is no real solution for $x$ and our assumption is not true. Hence the curves $ y=x^4+7x^2+5$ and $ y=x^2$ do not intersect each other. |
|---|
Example (4)
| Use proof by contradiction to show that there exist no integers a and b for which $25a + 15b = 1$. αα့်αျα် αα်αေαြαα်းαို αုံး၍ $25a + 15b = 1$ αို αြေαα်α ေαော αိα်းαြα့်αα်αိုး $a$ αှα့် $b$ ααှိαြောα်း αα်αေαြαါ။ |
|---|
αိαှိαားααα့် α‘αျα်αှာ αိα်းαြα့်αျား၏ αေါα်းαα်၊ αုα်αα်αှα့် αြှောα်αα်αို့αှာ αိα်းαြα့်αျားαာ αြα ်αα်။
| Solution Let us assume that there exist integers $a$ and $b$ for which $25a + 15b = 1$. Since $25a + 15b = 1$, dividing both sides with 5, $5a + 3b =\displaystyle \frac{1}{5}$. Since $a$ and $b$ are integers, both $5a$ and $3b$ are integers and their sum $5a + 3b$ must be integers. But $\displaystyle \frac{1}{5}$ is not integer and so this is contradiction. So, our assumption is false and the original statement is true. Therefore, there do not exist integers $a$ and $b$ for which $25a + 15b = 1$. |
|---|
Exercises
- Prove by contradiction that $\sqrt{3}$ is irrational.
- Prove by contradiction that the sum of a rational number and an irrational number is irrational.
- Prove by contradiction that there are infinitely many prime numbers.
- Prove, by contradiction that $\displaystyle\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b} \quad \forall\ a, b \in \mathbb{N}$.
- Prove by contradiction that if $m^{2}=10$ then $m$ is not a rational number.
Post a Comment