COUNTING PRINCIPLES
αေαွα်αြα်း (counting) αို αျွα်ုα်αို့ αေ့α α်αောα်αွα်αေαြαα်။ α₯ααာα‘ားαြα့်…• αα ်αα် αα်αှα ်αα် αုံးαα်αααဲ…။
• αα ်αေ့ α‘αုံးα αိα် αα်αောα်αှိααဲ။
• αျောα်းαα်းαဲαှာ αျောα်းαားα‘αေ α‘αွα် αα်αောα်αှိααဲ။
α αα်αို့αα် αေ့α α် αောα်αွα်αေαျ αေαွα်αြα်း αုα်αα်းα α်αျား αြα ်αြαα်။
αို့αာαွα် αြα ်αα်αျား αေါα်းα α် αေαွα်ααော αုံα ံαျားαα် αာαα် αေαွα်αြα်းαဲ့αို့ αိုးαှα်းαွα်αူαြα်း ααှိαော့αေ။ α₯ααာα‘ားαြα့်
• ααα်းαိုα်αွα် α‘αားαα်း αα်αျိုးαှα့် α‘αီးα‘αွα်αα်း αှα ်αျိုးαှိαα်။ α‘αားαα်းαှα ်αျိုး α‘αီးα‘αွα် αှα ်αျိုးαှာαူαွα့် αှိαော် αှာαူαွα့် αှိαောαα်းαα်း αα်αျှαှိααα်း။
• αောαုံးαα်း αα αα်းαို αေးαα်းα ီ αေးα‘ုα်α ုαွဲαျှα် αြα ်αိုα်αောαα်းαα်း αα်αျှαှိααα်း။
α αော α‘αြေα‘αေαျိုးαျားαွα် αေαွα်αြα်း αုα်αα်းα α်αျားαှာ αိုးαှα်းαွα်αူαှု ααှိαော့αေ။ α‘αα်αါ αေαွα်αြα်းαျိုးαျားα‘αွα် αြα ်αိုα်αော αα်းαα်းαျား αှာαူαα် α‘ောα်αါ α₯ααေααျားαို αိαှိαားααေαα်။
THE PRODUCT PRINCIPLE (AND RULE)
The number of ways of in which both choice $A$ and choice $B$ can be made is the product of the number of options for $A$ and the number of options for $B$.| $n(A\ \text{AND}\ B) = n(A) \times n(B)$ |
|---|
αြα ်αα် $A$ αြα ်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $n(A)$ αှα့် αြα ်αα် $B$ αြα ်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = n(B) αု αα်αှα်αα်။ αိုαို့αိုαျα် αြα ်αα် $A$ αှα့် αြα ်αα် $B$ αှα ်αုαွဲαြα ်αα် (αှα ်αု ααြိုα်αα်) αြα ်αိုα်αော α‘αေα‘αွα်αှာ $n(A)\times n(B)$ αြα ်αα်။
αြα ်αα် αα ်αုαα် αα ်αုαိုαα ်αု αှီαို αα်α α်αေαျှα် (αြα ်αα် αα ်αုαြα ်αျှα် α‘αြားαြα ်αα်αα ်αု ααြα ်αိုα်αော့αα့် α‘αြေα‘αေ) mutually exclusive events αု αေါ်αα်။
α₯ααာ။ αα်(α )αားα ီး၍ αုံးαို့αွားαြα်း၊ taxi α ီး၍ αုံးαို့αွားαြα်း၊ α ာαေးαွဲα‘ောα်αြα်း၊ α ာαေးαွဲαျαြα်း၊
THE ADDITION PRINCIPLE (OR RULE)
The number of ways of in which either choice $A$ or choice $B$ can be made is the sum of the number of options for $A$ and the number of options for $B$.If A and B are mutually exclusive then
| $n(A\ \text{OR}\ B) = n(A) + n(B)$ |
|---|
αြα ်αα် $A$ αြα ်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် =$n(A)$ αှα့် αြα ်αα် $B$ αြα ်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $n(B)$ αု αα်αှα်αα်။ αိုαို့αိုαျα် αြα ်αα် $A$ αှα့် αြα ်αα် $B$ αα ်αုααုα်αα ်αု αြα ်αိုα်αော αα်းαα်းαေါα်းαှာ $n(A) + n(B)$ αြα ်αα်။
FACTORIAL NOTATION
Factorial notation uses an exclamation mark ! as a short way to write the product of consecutive positive integers.αα်αိုα်αြα ်αော α‘αေါα်းαိα်းαြα့်αျား αြှောα်αြα်းαို factorial αု αေါ်αα်။ αှα်ααွα်αူα ေαα် α‘αွα် α‘αေါα်းαိα်းαြα့်αျားαို αြီးα α်αα်αိုα် α ီαေ့αှိαα်။
Examples
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ [$3!$ = 3 factorial αုαα်αα်။]
$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$
| $n! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3)… 3 \times 2 \times 1$ |
|---|
Note: $0! = 1, 1! = 1, n! = n (n – 1)!$
| ααူαာαုα
္αာ αα
်αုα် αေ့αာαြα့်αြαα်။ αα့်αွα် α‘αောα်ααူαော T-Shirt αါးαα်αှိαα်။ αα ်αေ့αα ်αောα် αှုα်းαြα့် α‘αောα်ααα်αဲ αါးαα်αα်αိုα် αα်αα်αိုαော် αα်αα်αိုα်αောαα်းαα်း αα်αျှαှိααα်း။ ααααေ့ αွေးαျα်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $5$ (αြိုα်αာ αွေးαျα်αိုα်αα်) αုαိααေ့ αွေးαျα်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $4$ (ααααေ့ αα်αားαော αα ်αောα် αα်) ααိααေ့ αွေးαျα်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $3$ (αှေ့αှα ်αα် αα်αားαော αှα ်αောα် αα်) α αုα္ααေ့ αွေးαျα်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $2$ (αှေ့αုံးαα် αα်αားαော αုံးαောα် αα်) αα္α ααေ့ αွေးαျα်αိုα်αော α‘αေα‘αွα် = $1$ (αα ်αောα်αα်းαာ αျα်) α ုα ုαေါα်း αွေးαျα် αα်αα်αိုα်αော αα်းαα်း = $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ ways αို့αြောα့် α ုα ုαေါα်း αွေးαျα် αα်αα်αိုα်αော αα်းαα်း = $5!$ ways |
|---|
| Example (1) There are four roads from town $A$ to town $B$, and three roads from town $B$ to town $C$. How many different ways are there to travel by road from $A$ to $B$ to $C$? $A$ αှ $B$ αို့ αွားαိုα်αော αα်းαေးαွα်αှိαြီး၊ $B$ αှ $C$ αို့ αွားαိုα်αော αα်းαုံးαွα် αှိαျှα် $A$ αှ $B$ αို αြα်αြီး $C$ αို့ αွားαိုα်αော αα်းαြောα်း αα်αျှ αှိααα်း။  $\therefore$ Number of ways to travel by road from $A$ to $B$ to $C$ = $4 \times 3 = 12$ ways. |
|---|
| Example (2) An examination has ten questions in section A and four questions in section B. How many different ways are there to choose questions if you must: (a) choose one question from each section? (b) choose a question from either section A or section B? α ာαေးαွဲαေးαွα်း αα ်αုαွα် section A ၌ αေးαွα်း (αα)αုα်αါαα်αြီး section B ၌ αေးαွα်း (α)αုα် αါαα်αော် (a) α‘αိုα်းαα ်αုαှ αေးαွα်း αα ်αုα်α ီ αြေααα် αိုαျှα် αြေαိုαိုα်αော αα်းαα်း αα်αျှαှိααα်း။ (b) αှα ်αα်αာ α‘αိုα်းαှ αေးαွα်းαα ်αုα်αာ αြေααα်αိုαျှα် αြေαိုαိုα်αော αα်းαα်း αα်αျှαှိααα်း။ (a) choosing one question from section A = 10 ways choosing one question from section B = 4 ways $\quad\quad \text{choosing one question from each section}$ $\quad= \text{choosing one question each from section}$ $\quad\quad A\ \text{AND section}\ B$ $\quad= 10 \times 4 $ $\quad= 40\ \text{ways.} $ $\text{(b) choosing a question from either section}$ $\quad\quad A\ \text{OR section}\ B= 10 + 4 = 14\ \text{ways.}$ |
|---|
| Example (3) Find the unit digit of $1! + 2! + 3! + 4! + … + 10!$. For $n\ge 5, n!$ cotains a factor $(5\times 2)$ or $10$. Thus, For $n\ge 5$, n! is a multiple of $10$ and its unit digit is always $0$. $\therefore \quad$ the unit digit of $1! + 2! + 3! + 4! + … + 10!$ $\quad = $ the unit digit of $1! + 2! + 3! + 4!$ $\quad = $ the unit digit of the sum $1 + 2 + 6 + 4 $ $\quad = 3$ |
|---|
| EXERCISES 1. If there are 10 ways of doing $A, 3$ ways of doing $B$ and 19 ways of doing $C$, how many ways are there of doing (a) (i) both $A$ and $B ?$ (ii) both $B$ and $C ?$ (b) (i) either $A$ or $B ?$ (ii) either $A$ or $C ?$ 2. If there are 4 ways of doing $A, 7$ ways of doing $B$ and 5 ways of doing $C$, how many ways are there of doing (a) all of $A, B$ and $C ?$ (b) exactly one of $A, B$ or $C ?$ 3. How many different paths are there (a) from $A$ to $C ?$ (b) from $C$ to $E ?$ (c) from $A$ to $E ?$  4. There are five roads from town $A$ to town $B$, and two roads from town $B$ to town $C$. In how many different ways can you travel by road from $A$ to $B$ to $C ?$ 5. Find $x,$ if $\displaystyle\frac{x}{5 !}+\displaystyle\frac{x}{6 !}=\displaystyle\frac{1}{7 !}$. 6. Simplify $\displaystyle\frac{(2 n) !}{n !}$. 7. If the product of factorials of $n$ consecutive positive integers be a single-digit number, find the maximum value of $n$. 8. If the sum of the factorials of $N$ consecutive natural numbers be a three-digit number, find the maximum value of $N$. 9. Find the number of positive integral solutions of $x+y=10$. 10. A question paper has two sections $A$ and $B$ respectively. Section $A$ has 7 questions whereas section $B$ has 6 questions, respectively. In how many ways a student can attempt for a single question either from section $A$ or section $B ?$ |
|---|
α
ာαα်αူ၏ α‘αြα်αို αေးα
ားα
ွာα
ောα့်αျှော်αျα်!
Post a Comment