PERMUTATION
A permutation is an ordered selection or arrangement of all or part of a set of objects.α‘α
ုαα
်αုα‘αွα်းαှ α‘α
ုαα်α‘ားα‘ားαုံး (αို့) α‘α
ုαα်α‘αျို့αို αေαာαျαားα
ီα
α်αှုαို permutation αု αေါ်αα်။
| α‘ောα်αါ α₯ααာαို αေ့αာαြα့်αြαα်။ α‘αα်းαဲαွα် αျောα်းαားαα်αောα်αှိαာ αα ်α¦းαို α‘αα်းαေါα်းαောα်α‘αြα ် αွေးαျα်αြီး αောα်αα ်α¦းαို αုαိα α‘αα်းαေါα်းαောα်α‘αြα ် αွေးαျα်αα်αိုαျှα် αွေးαျα်αိုα်αောαα်းαα်း αα်αျှαှိαα်αα်း။ α‘αα်းαေါα်းαောα် αြα ်αိုα်αော αျောα်းαား α‘αေα‘αွα် = $10$ αောα် α‘αα်းαေါα်းαောα် αα ်αောα် αွေးαျα်αြီးαါα αုαိα α‘αα်းαေါα်းαောα် αြα ်αိုα်αော αျောα်းαားα‘αေα‘αွα် = $9$ αောα် αို့αြောα့် αွေးαျα်αိုα်αော αα်းαα်းαေါα်း = $10\times 9 = 90$ αွေးαျα်αိုα်αော αα်းαα်းαေါα်း αို factorial expression αြα့် $\displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$ (αို့) $\displaystyle\frac{10!}{8!}=\displaystyle\frac{10!}{(10-2)!}$ αု αော်αြαိုα်αါαα်။ ၎α်းαို αα်္αေαα‘ားαြα့် ${}^{10}{{P}_{2}}$ αု αα်αှα်αါαα်။ |
|---|
PERMUTATION OF $n$ OBJECTS TAKEN $r$ AT A TIME WITHOUT REPETITION
The number of permutations of $n$ different things taken $r$ at a time is denoted as ${}^{n}{{P}_{r}}$ or $P(n, r)$ and is defined as :| ${ }^{n} P_{r}=\displaystyle\frac{n !}{(n-r) !}=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ |
|---|
where
$\bullet\quad n$ is a natural number
$\bullet\quad r$ is a whole number
$\bullet\quad r\le n$
ααူαီαောα‘αာαα္αု $n$ αုαဲαှ $r$ αုαို αုα်αူαျှα် αုα်αူαိုα်αော αα်းαα်းαေါα်း αို ${}^{n}{{P}_{r}}$ αု αα်αှα်αα်။
NOTE : ${ }^{n} P_{n} = n!$
PERMUTATION WITH REPETITION
The number of permutations of $n$ different things taken $r$ at a time, when each can be repeated any number of times is $n^r$.| Example (1) (a) In how many ways can a first, second and third prize be awarded in a class of 10 students? αျောα်းαား 10 αောα် αှိαော αα်αα်းαα ်αုαွα် αျောα်းαား 3 αောα်αိုαာ ααα၊ αုαိα၊ ααိααုαျား αျီးαြှα့်αα်αြα ်αာ αွေးαျα်αိုα်αော α‘αြေα‘αေ αα်αျှαှိαα်αα်း။ (b) In how many ways can a Mathematics prize, a Physics prize and a Chemistry prize be awarded in a class of 10 students? αျောα်းαား 10 αောα် αှိαော αα်αα်းαα ်αုαွα် αα်္αျာ၊ αူα၊ αါαု αူးαျွα်αုαျား αျီးαြှα့်αα်αြα ်αာ αုαေးαိုα်αော αα်းαα်း αα်αျှαှိαα်αα်း။ Solution (a) αျောα်းαား 10 αောα်αဲαှ αျောα်းαားαုံးαောα်αိုαာ ααα၊ αုαိα၊ ααိααုαျား αျီးαြှα့်αα်αြα
်αာ 10 αောα်αှ 3 αောα်αွေးαျα်αြα်းαြα
်αα်။ αြα်ααα်αါ။ $\therefore$ Number of ways $={ }^{10} P_{3}=10 \times 9 \times 8=720$ (b) αျောα်းαား 10 αောα်αို αα်္αျာ၊ αူα၊ αါαု αူးαျွα်αုαျား αျီးαြα့်αα် αြα
်αα်။ αα်αူααို αြα
်αိုα်αောαြောα့် αြα်αα်αိုα်αါαα်။ αα်္αျာαူးαျွα်αု αုααိုα်αော αျောα်းαားα‘αေα‘αွα် = 10 αူααူးαျွα်αု αုααိုα်αော αျောα်းαားα‘αေα‘αွα် = 10 αါαုαူးαျွα်αု αုααိုα်αော αျောα်းαားα‘αေα‘αွα် = 10 $\therefore$ Number of ways $=10^3=1000$. |
|---|
| Example (2) How many three-digit numbers can be formed from the digits 1, 2, 3, and 4 if (i) repetition is allowed, (ii) repetition is not allowed. Solution (i) If repetition is allowed, number of 3-digit numbers $= 4^3 = 64$ (ii) If repetition is not allowed, number of 3-digit numbers $={ }^{4} P_{3} = 4 × 3 × 2 = 24$ |
|---|
PERMUTATION OF ALIKE OBJECTS
The number of permutations of $n$ objects with $n_1$ identical objects of type $1$, $n_2$ identical objects of type $2$,. . . , and $n_k$ identical objects of type $k$ is| $\displaystyle\frac{n !}{n ! n_{2} ! \cdots n_{k} !}$ |
|---|
| $1, 3, 5$ αို ααα်းαα
်αုံးαျှα် αα
်αြိα်αာαုံးαြီးαွဲαော် α‘αွဲαေါα်းαα်αျှ αှိααα်း။ $135, 153, 315$, $351, 513, 531$ αို့αြα ်αြαα်။ Permutation αြα့်αော်αြαော်၊ ααα်းαုံးαုံးαှိαα့် α‘αα် αုံးαုαုံး αွေးαျα်αိုα်αော αα်းαα်းαေါα်း $={ }^{3} P_{3}=3 !=6$ αα်းαှိαါαα်။ α‘αα်၍ $1, 1, 5$ αို ααα်းαα ်αုံးαျှα် αα ်αြိα်αာαုံးαြီးαွဲαော် α‘αွဲαေါα်းαα်αျှ αှိααα်း။ $115, 151, 511$ αို့αြα ်αြαα်။ α‘αα်αါ α₯ααာαဲ့αို့ α‘αာαα္αု $n$ αု αဲαွα် αုံα ံαူ α‘αာαα္αု $p$ αုαှိαျှα် α‘αာαα္αု $n$ αုαို αှα်αွဲαိုα်αော αα်းαα်းαေါα်းαှာ $\displaystyle\frac{n !}{p !}$ αြα ်αα်။ α‘αα်α α₯ααာαို αြα်αα်α α ်αေး αြα့်αါαα်။ $1, 1, 5$ αွα်αါαα်αော αိα်းαုံးα‘αေα‘αွα် $= 3$ $1, 1, 5$ αွα်αါαα်αော αုံα ံαူ (αα်αေαော) αိα်းαုံး α‘αေα‘αွα် $= 2$ $1, 1, 5$ αို αှα်αွဲαိုα်αော αα်းαα်း $=\displaystyle\frac{3 !}{2 !}=\displaystyle\frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}=3$ |
|---|
| Example (3) How many distinct arrangements can be formed using all the letters of STATISTICS? Solution total number of letters = 10 number of A's = 1 number of C's = 1 number of I's = 2 number of S's = 3 number of T's = 3 number of arrangements $\quad =\displaystyle\frac{10!}{3!\cdot3!\cdot2!}$ $\quad =\displaystyle\frac{3628800}{72}=50400$ |
|---|
| Example (4) How many different ways are there to color a $4\times 4$ grid with red, green, yellow and blue paints, using each color 4 times?  Solution total number of squares = 16 number of red squares = 4 nnumber of green squares = 4 number of yellow squares = 4 number of blue squares = 4 number of arrangements $\quad =\displaystyle\frac{16!}{4!\cdot4!\cdot4!\cdot4!}$ $\quad =63063000$ |
|---|
| EXERCISES 1. In how many ways can seven books be arranged in a row? 2. How many different three-digit numbers can be formed using the digits 1, 2, 3, 5, 7 (a) once only? (b) if digits can be repeated? 3. The digits 0 to 9 are used to make 10-digit numbers (not beginning with zero). How many different numbers are possible if: (a) each digit can be used only once, (b) each digit can be used any number of times? 4. In how many ways can a president, a treasurer and a secretary be chosen from among 7 candidates? 5. A license plate begins with three letters. If the possible letters are A, B, C, D and E, how many different permutations of these letters can be made if no letter is used more than once? |
|---|
α
ာαα်αူ၏ α‘αြα်αို αေးα
ားα
ွာα
ောα့်αျှော်αျα်!
Post a Comment